Funciones y gráficas


Introducción

Esta página pretende ayudarte a comprender la idea de función para que luego puedas aplicarla a problemas de la vida cotidiana.
También estudiaremos la definición de gráfica de una función e identificaremos funciones por sus gráficas.


Contenido
  1. Funciones

    1. Definición de función
    2. Dominio y Recorrido de una función
    3. Funciones Lineales
    4. Funciones Cuadráticas

  2. Gráfica de una función

    1. Gráfica de una función lineal
    2. Gráfica de una función cuadrática


Funciones

La idea de correspondencia se presenta con frecuencia en la vida diaria.

Para cada correspondencia en los ejemplos anteriores se necesitan 2 conjuntos, D y E.
En el primer ejemplo, D representa el conjunto de libros de la biblioteca, y E es el conjunto de los números enteros.

La correspondencia entre conjuntos se puede representar mediante un diagrama como el de la Figura 1:

Diagrama de correspondencia

Los conjuntos D y E están representados por óvalos o regiones del plano que encierran puntos, los que representan a los elementos de cada conjunto.
La flecha curva indica que al elemento x le corresponde el elemento y

Es importante destacar que la definición de función requiere que a cada elemento del conjunto D se le asigne un único elemento del conjunto E, aunque a un elemento del conjunto E puede corresponderle diversos elementos del conjunto D, como veremos más adelante.


Definición de Función

"Una Función f definida de un conjunto D a un conjunto E, es una CORRESPONDENCIA que asigna a cada elemento x de D un único elemento y de E"



Dominio y Recorrido de una función

El elemento y de E es el valor de f en x y se representa por f(x), se lee "efe de equis".

El conjunto D es el Dominio de la función, también llamado "Conjunto de las preimágenes".
El conjunto de todos los elementos de E tales que son los valores que toma la función para cada elemento del dominio se llamará Recorrido de la función. A este conjunto también se le suele llamar "El Conjunto de las imágenes".

Notemos que el Recorrido de la función es un subconjunto de E, lo llamaremos R
"No necesariamente todos los elementos del Recorrido R son preimágenes de un elemento de D"

Observación: En esta página analizaremos funciones donde los conjuntos D y E son conjuntos de números reales.

Funciones Lineales

Una funcion es lineal si es de la forma:

f(x) = ax + b

donde x es cualquier número real, a y b son constantes

Notemos que como todo elemento x de los reales se le puede hacer corresponder una imágen f(x), tenemos que, en este caso, el Recorrido de la función es el conjunto de TODOS los números reales.
Luego, para cualquier Función Lineal, su recorrido será el conjunto de los números Reales.

Funciones Cuadráticas

Una funcion es Cuadrática si es de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde x es cualquier número real, a, b y c son constantes.



Gráfica de una función

Llamaremos Gráfico de una Función f al conjunto de los puntos (x,y) del plano cartesiano tales que y = f(x)



Gráfica de una función lineal

El gráfico de una Función Lineal es un linea Recta en el plano cartesiano.

Ejemplo de Función Lineal








Ejemplo de la gráfica de una Función Lineal












Gráfica de una función cuadrática

Si a=0 y c=0, tememos que la función se transforma en f(x) = ax2 y por definición tenemos que su gráfica corresponde a una parábola con vértice en el orígen.
En general, las gráficas de las funciones cuadráticas son parábolas trasladadas, es decir con vértice distinto del orígen.

Ejemplo de Función Lineal













Ejemplo de la gráfica de una Función Cuadrática